Generación de la elipse y la hipérbola como lugar geométrico

La elipse es el lugar geométrico de los puntos P tales que la suma de sus distancias d y d' a dos puntos fijos F y F' llamados focos, es constante.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias d y d' a dos puntos fijos F y F' llamados focos, es constante.
Los segmentos, de longitudes d y d', que unen cada punto de la elipse o hipérbola con los focos se conocen como radios vectores.
La distancia entre los focos se suele designar como 2c, y la constante como 2a. En el caso de la elipse tiene ser 2c < 2a, mientras que en el de la hipérbola tiene que ser 2c > 2a, por la desigualdad triangular (un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia).
Avanza con los controles de la barra inferior, para ver como puede generarse la cónica correspondiente. La recta mQF' es la mediatriz del segmento QF'. Desplaza el punto Q, o marca la casilla de animación, para ver como el punto P traza la cónica.

De la igualdad de los ángulos marcados y como consecuencia de las leyes de la reflexión (ángulo de incidencia igual a ángulo de reflexión), se deduce que, en la elipse, un rayo proveniente de un foco se refleja pasando por el otro foco, mientras que en la hipérbola, lo hace como si proviniese del otro foco.
La ecuación es la que corresponde cuando el origen es el punto medio de los focos y estos están en el eje OX.
En ambos casos, la tangente a la cónica en uno de sus puntos es una de las bisectrices de los radios vectores y sus prolongaciones.

Ignacio Larrosa, Creación realizada con GeoGebra