Ecuación general de una cónica

Una ecuación general de 2º grado en dos variables ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 corresponde a una sección cónica, quizá degenarada (un par de rectas secantes, paralelas o coincidentes) o imaginaria (sin puntos reales), o reducirse a un único punto.
El tipo de la cónica viene determinado por el discriminante D = b² - 4ac. Si es D < 0, es de tipo elíptico, si D = 0 de tipo parabólico y si D > 0 de tipo hipérbólico.

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Según los casos, se presentan los focos, vértices principales y secundarios, eje principal y secundario, asíntotas y directrices.
Las soluciones de la ecuación de 2º grado c*m² + b*m + a = 0, son las pendientes de las direcciones asíntoticas de la cónica: las de las asíntotas en el caso de una hipérbola, o la del eje principal en el caso de una parábola. Salvo que sea vertical. En ese caso, se puede tomar la ecuación a*t² + b*t + c = 0, cuyas soluciones serían los inversos de esas pendientes (0, para una recta vertical). Ambas ecuaciones tienen el mismo discriminante b² - 4ac, y esto explica por qué su valor determina el tipo de la cónica.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 20 Marzo 2013, Creado con GeoGebra

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