Perpendicular común de dos rectas que se cruzan

La perpendicular común t que corta a dos rectas r y s que se cruzan, con vectores de dirección u y v no paralelos, debe ser paralela al producto escalar w = u×v. Por tanto debe estar contenida en el plano ρ; paralelo a los vectores u y w, y que contiene a un punto cualquiera P de la recta r, así como en el plano σ paralelo a los vectores v y w y que contiene a un punto cualquiera Q de la recta s. Será por tanto la intersección de estos dos planos.

Los puntos entre los que se produce la distancia mínima en tres las rectas r y s son los puntos en que se intersecan con la perpendicular común t. Se pueden encontrar más fácilmente como intersecciones de las rectas r y s con los planos con los planos σ y ρ respectivamente. Para hallar la distancia mínima entre las rectas sin hallar la perpendicular común hay otro procedimiento más directo.

También se puede encontrar la perpendicular común tomando un vector que vaya de un punto arbitrario de una de las rectas, careacterizado por el valor de su parámetro, a un punto cualquiera de la otra, caracterizado por un parámetro que nada tiene que ver con el anterior. Imponiendo que el producto escalar de este vector arbitrario por los vectores u y v sea nulo, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que determinan el valor de los parámetros, lo que nos proporciona el punto buscado de cada recta.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 Enero 2017, Creado con GeoGebra

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