Teorema de Pitágoras en el espacio

En un tetraedro trirectángulo, el cuadrado del área de la cara opuesta al triedro trirectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las otras tres.

Se obtiene de forma inmediata calculando el área del triángulo ABC como la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores AB y AC, por ejemplo:

½ |AB x AC| = ½ |(-a, b, 0) x (-a, 0, c)| = ½ |(bc, ac, ab)|

Igual que ocurre con el Teorema de Pitágoras en el plano y la relación fundamental de la trigonometría cos²(α) + sen²(α) = cos²(α) + cos²(β) = 1, el Teorema de Pitágoras en el espacio equivale a cos²(α) + cos²(β) + cos²(γ) = 1, donde cos(α), cos(β) y cos(γ) son los cosenos directores de un vector cualquiera.

Si se asocia a cada superficie el vector perpendicular a ella que tiene por módulo su magnitud, las superficies de los vectores correspondientes a las superficies de los tres triángulos rectángulos no son más que las componentes del vector correspondiente al triángulo ABC.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 Septiembre 2016. Creado con GeoGebra

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