Recta de Euler perpendicular a la bisectriz

La recta de Euler de un triángulo es perpendicular a la bisectriz de uno de sus ángulos si y solo si este es de 60°.

1) ∠A = 60° ⇒ MH perpendicular a bA

El circuncentro M y el ortocentro H son conjugados isogonales, por lo que los segmentos AH y AM forman ángulos iguales con la bisectriz bA. Sin necesidad de recurrir al concepto de conjugado isogonal, es fácil ver que estos ángulos son iguales, pues si F es el pie de la altura hC, los ángulos ∠B y ∠AHF son iguales por ser sus lados respectivamente perpendiculares, por lo que el ángulo ∠FAH es el complementario del ∠B. Por otra parte, en la circunferencia w circunscrita al triángulo ABC, el ángulo central ∠CMA es igual al doble del inscrito ∠B, por lo que los dos ángulos iguales del triángulo isósceles AMC miden ½ (180° - 2∠B) =90° - B. Si N es el punto medio de M y H, se deduce que los ángulos ∠HAN y ∠MAN son iguales.

Si E es el pie de la altura hB, el triángulo AEF es semejante al ABC, pues lo son los tres que delimita el triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas del triangulo ABC. Esto se establece fácilmente considerando las circunferencias que tienen a cada lado como diámetro y que, por tanto, pasan por los pies de las alturas sobre los otros lados.

Entonces, ∠A = 60° ⇒ AF = ½ AC (y que AE = ½ AB, pero por lo anterior basta con una de las dos). La circunferencia wA circunscrita al triángulo AEF tiene entonces la mitad de diámetro que la w. Es decir, que el diámetro de wA tiene la misma mágnitud que el radio MA de w. Pero AH es un diámetro de wA puesto que en el cuadrilátero AEHF los ángulos ∠AFH y ∠AEH son rectos.

Por tanto AH = AM, lo que junto a la igualdad de los ángulos que forman estos segmentos con la bisecriz hacen al triángulo AMH isósceles y MH perpendicular a bA.

2) MH perpendicular a bA ⇒ ∠A = 60°

Se tiene que el triángulo AMH es isósceles, dada la isogonalidad de M y H, por lo que AM = AH. Pero AH es el diámetro de wA, por lo que la razón de semejanza entre los triángulos ABC y AEF es ½, con lo que AF = ½ AC y ∠A = 60°.


El punto N es el centro de la circunferencia de los nueve puntos, que es la circunferencia pedal de M y H (la circunferencia pedal de un punto pasa por los pies de las perpendiculares a los lados trazadas por el punto). Esto ocurre siempre con cualquier par de puntos conjugados isogonales: comparten circunferencia pedal, cuyo centro es el punto medio de los dos.

Si el ángulo es de 60°, el punto N también se halla en la circunferencia wA, al ser recto el ángulo ∠ANH.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 mayo 2016. Creado con GeoGebra

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