El Toro y sus secciones

El toro es la superficie de revolución generada por una circunferencia de radio r que gira en torno a una recta que esta en su plano, a una distancia R de su centro. Si R < r, la superficie se corta a si misma.

Su superficie y volumen, para R ≥ r, son muy sencillos de calcular con los teoremas de Papus-Guldin, y equivalen a los de un cilindro de radio r y altura 2πR, como el obtenido al cortarlo y estirarlo, la contracción de la parte externa compensa exactamente la dilatación de la interna: S = 4π2rR, V = 2π2r2R.

Las secciones paralelas al eje del toro se denominan secciones espíricas. Si están a una distancia d del eje, si:

  • d < R- r, se obtienen dos óvalos separados, circunferencias de radio r si d = 0.


  • d = R - r, una curva con una sola rama que se corta a si misma.


  • d > R - r, un sólo óvalo. Si R- r < d < R, el óvalo tiene un estrechamiento central.

Si d = r, las secciones son óvalos de Cassini, que se caracterizan por ser los lugares geométricos de los puntos cuyo producto de distancia a dos focos F y F' es constante. Los focos están separados una distancia 2R y el producto de las distancias es 2rR. Si R = 2r = 2d, se trata de la Lemmiscata de Bernouilli.

Otras secciones interesantes, cuando R > r, son las producidas por los planos que forman un á α = arcsen(r/R) con el plano ecuatorial del toro. Consisten en dos circunferencias descubiertas por Villarceau (1813-1883), de radio R con centros en el plano ecuatorial, a una distancia r del centro O del toro. El plano es tangente a la superficie tórica en los dos puntos en que se cortan las circunferencias. Estos puntos, como todos los interiores de la superficie, que están a una distancia menor que R del eje, son puntos hiperbólicos, en los que el plano tangente atraviesa a la superficie y se corta con ella a lo largo de un par de líneas, en esta caso las circunferencias de Villarceau.

Estas circunferencias de Villarceau también son la intersección de la superficie tórica con dos esferas con sus mismos centro y radios, de las que son por tanto círculos máximos. Cada una de estas esferas es tangente al toro en dos puntos, uno en la parte interior y otro en la exterior.

Por tanto, por cada punto P de la superficie tórica pasan cuatro círcunferencias: una paralela al plano ecuatorial y otra coplanaria con el eje, como las de la trama visible de la superficie, y dos circunferencias de Villarceau, simétricas respecto al plano que pasa por P y contiene al eje.


Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 Julio 2016. Creado con GeoGebra

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