Árbol de Steiner de un cuadrilátero

Se muestran dos soluciones, válidas para el caso de que el cuadrilátero ABCD sea convexo y ninguno de sus ángulos mayor que 120º.
Marcar una sola de las soluciones y utilizar los controles de la barra inferior para ver como se determinan.
Repitelo con la otra solución.

Marcar las dos soluciones para compararlas. La razón de Steiner es el cociente entre la lóngitud del árbol mínimo de Steiner y la del árbol de conexíón mínimo, sin puntos de Steiner añadidos. En este caso, el perímetro menos el lado mayor. Se ha demostrado que no puede ser menor que 1/2 de la raíz cuadrada de 3, aprox. 0.866, que corresponde al caso de un triángulo equilátero.
Si el cuadrilátero es simétrico respecto a una de sus diagonales, ambos árboles son simétricos uno del otro y trivialmente tienen la misma longitud. Pero si las diagonales son simplemte perpendiculres, los árboles también tienen la misma longitud, aunque ya no sean simétricos. Si las diagonales no son perpendiculares, el árbol de menor longitud es el que tiene los puntos de Steiner en los ángulos agudos determinados por ellas.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 1 Mayo 2016, Creado con GeoGebra

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