Triángulos equiláteros en una malla triángular

Dada una malla triágular (o geoplano) de n filas de puntos equiespaciados, ¿cuántos triángulos equiláteros pueden formarse con sus vértices en ella y con cualquier orientación?

Cada posible triángulo en la malla está inscrito en un triángulo 'marco' de igual orientación que la malla y con k puntos por fila, 2 ≤ k ≤ n.

¿Cuántos de estos marcos de lado k hay? Apoyados en la base pueden situarse n - k + 1, en totas las posiciones de izquierda a derecha. Si el vértice inferior izquierdo del marco es el i-ésimo de la base de la malla, puede desplazarse hacía arriba y la izquierda i veces. Por tanto hay 1 + 2 + ⋯ + (n-k+1) = (n-k+1)(n-k+2)/2.

En cada uno de estos marcos pueden inscribirse k-1 triángulos equiláteros, incluido el mismo (los demás girados).

Entonces, el número total de triángulos equiláteros que pueden inscribirse en la malla de n puntos de lado es la suma de los productos del número de marcos de lado k por (k-1). La presencia de este factor (k-1) hace que los sumatorios puedan hacerse desde k = 1, lo que es más cómodo.

Visto en Missouri State University's problem Corner, #3 Challenge Problem 2001-02 Academic year

Es curioso que resulte ser un número combinatotio y que se trata del mismo número que el de tetraedros regulares que pueden obtenerse de un tetraedro regular con la misma orientación al cortarlo por planos paralelos a sus caras que dividan a sus aristas en n partes iguales. También es el número de intersecciones de las diagonales de un polígono convexo no regular de n+2 lados. La sucesión está en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences con el número A000332.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 2 marzo 2023. Creado con GeoGebra

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