Triángulo isósceles 20°, 80°, 80°

En un triángulo ABC, con ∠C = 20° se trazan las rectas DB, con D en AC, que forma un ángulo de 50° con AB, y AE, con E en BC, que forma un ángulo de 60° con AB. El ∠CAF = 20°, y el ∠DBF = 30°. ¿Cuál es el valor del ángulo α = ∠DFA?

Como el máximo común divisor de todos los ángulos implicados es 10° = 180°/18, este triángulo se puede insertar fácilmente en un octodecágono regular con centro en el vértice C, y dos vértices consecutivos en A y B, que seran V1 y V2, numerando los demás vértices correlativamente hasta V18.

El segmento BD forma parte de la diagonal BV14, que es el lado de un triángulo equilátero de vértices B, V8 y V14.

El triángulo ACF es isósceles, pues tiene dos ángulos de 20°. Tracemos la mediatriz correspondiente al vértice F. Como corta a AC en su punto medio, esta mediatriz contendrá al lado de un triángulo equilátero de centro C y vértices V4, V10 y V16.

La simétrica de esta mediatriz respecto al lado BC es la diagonal V6V18 del octodecágono, que también es el lado de un triángulo equilatero con tercer vértice V12. Esta diagonal es la simétrica respecto de AC de BV14, por lo que la cortan en el mismo punto, el D.

Por tanto, las rectas V6V18 y DF son la misma. En el triángulo V18AF tenemos que el ∠V18AF = 100°, pues abarca diez lados del octodecágono, el ∠FV18A = 50°, pues abarca cinco lados, por lo que el ∠DFA es de 180° - 100° - 50° = 30°.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 Marzo 2014. Creado con GeoGebra

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