Triángulo a partir de la división en tres partes de un segmento

Se parte un segmento AB de longitud 1 por dos puntos situados a distancias x e y de su extremo A, escogidos con probabilidad uniforme. ¿Cuál es la probabilidad de que con los tres trozos obtenidos pueda formarse un triángulo?

Representando en los ejes OX y OY las distancias x e y, e imponiendo que cada lado sea menor que la suma de los otros dos, obtenemos como región factible la sombreada más intensamente. Para hallar la probabilidad, basta entonces dividir el área de la región factible, por la de toto el espacio muestral, el cuadrado de lado 1.

Para comprobarlo, se obtienen 1000 puntos distribuidos con probabilidad uniforme en todo el cuadrado. Moviendo el deslizador n, puedes resaltar cada uno de los puntos y comprobar si forman o o no un triángulo.

Posiblemente la frecuencia observada no coincida exactamente con la probabilidad teórica. Después de hacer clic en el interior de la ventana, pulsa 10 veces la CTRL-R, anotando las frecuencias obtenidas de cada vez en las celdas C1 a C10. Hallas entonces la media de estas frecuencias, escribiendo Media[C1:C10] en la celda C11. ¿Se aproxima más esta media a la probabilidad teórica?

Si primero hicieramos un corte en un punto X entre A y B, y luego otro en un punto Y entre X y B, ¿cambiaría algo la probabilidad?
¿Y si el segundo corte lo hicieramos en el segmento más largo de los dos producidos por el primer corte?

Ignacio Larrosa, Creación realizada con GeoGebra

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