Seno de la suma a partir del teorma del seno

Ésta demostración es más sencilla y general que la que suele aparecer en los libros de texto, utilizando la circunferencia goniométrica. Se aplica siempre que sumandos y suma sean menores que 180º (mover el vértice C para que el triángulo sea obtusángulo en A, B ó C). La otra demostración solo es válida sin importantes modificaciones si los sumandos y la suma son menores que 90º.

• Para el seno de la diferencia, utilizando que para ángulos opuestos los senos son opuestos, tenemos que:
  
  sen(α - β) = sen(α + (-β)) = sen(α)cos(-β) + cos(α)sen(-β)
  
  = sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β)
  
  

• Para el coseno de la suma, utlizando que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario:
  
  cos(α + β) = sen(π/2 - (α + β)) = sen((π/2 - α) - β) = sen(π/2 - α)cos(β) - cos(π/2 - α)sen(β)
  
  = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)
  
  
• Para el coseno de la diferencia:
  
  cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos(α)cos(-β) - sen(α)sen(-β)
  
  = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
  

Ignacio Larrosa Cañestro (Página principal), Creación realizada con GeoGebra